電車の中で予備校だったか塾だったかが広告として出しているこの問題。日能研の「四角い頭」シリーズはほぼその場で解けるが、この問題は「東大理科」の問題らしくなかなか難しい。

円周に内接する多角形の外周が円周よりも必ず小さくなることを使えば解けるという全体像は直ぐにできたものの、本日いざ解いてみたら、やはり苦戦した。

まずは、正六角形で挑戦。当然だが、半径と正六角形の一辺は１なので、π＞３の証明は簡単だが、３．０５は難しい。 正弦定理だったか余弦定理だったか、いずれにしても記憶は吹っ飛んでいるので、ピタゴラスの定理が使えるよう、中心から角を結ぶ直線によって鋏まれる角が３０％になる、正十二角形にし、式（１）を未見出す。

そこから、１．７３＜√３＜１．７４に気がついて式（２）を見出すまでになお半日を要す。なおかつ３．０５と結びつくまでに更に時間を費やし、動脈硬化以外に脳味噌も硬化していること実感。

（証明）

半径r＝１の円周に内接する正十二角形の一辺の長さをLとすると、

正十二角形の一辺の外側にある円周の弧の長さは、Lより常に大きいことから、

２πｒ＞１２L　すなわち、ｒ＝１のとき、π＞６L・・・（１）

また、底辺L、頂点を円の中心とする対角３０％の二等辺三角形においては、
L^２＝（１／２）^２＋（１－√３／２）^２
　 ＝２－√３＞０．２６　・・・（２）

（１）（２）より、

π^２＞３６L^２＞９．３６＞９．３０２５＝３．０５^２

π＞０より、π＞３．０５　・・・証明終わり。だが東大不合格。とほほ・・・。